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CHAPITRE9

Mathématiques · 5e

Parallélogrammes

Propriétés du parallélogramme · rectangle, losange, carré · aire et unités d'aire

Objectifs d'apprentissage

⚡Automatismes

Révisions des chapitres 1 à 8

QCM : clique sur la bonne réponse.

  1. \(-3+7\) est égal à :

  2. Si un point A′ est l'image d'un point A par la symétrie de centre O, alors :

  3. \(\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{10}\) est égal à :

  4. Le plus petit des nombres \(-2{,}5\) ; \(-3\) ; \(1\) est :

Réponses courtes : écris ta réponse, puis vérifie.

  1. Calculer \(-4-6\).

  2. Calculer \(18-2\times(3+4)\).

  3. Calculer la moyenne de la série 6 ; 9 ; 10 ; 15.

  4. Un triangle ABC est isocèle en A et \(\widehat{\text{ABC}}=70^\circ\). Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\).

  5. Calculer l'aire d'un rectangle de dimensions 7,5 cm et 4 cm.

  6. Quelle est la nature du quadrilatère EFGH codé ci-dessous ?Quadrilatère EFGH dont les quatre côtés sont codés de même longueur

1Le parallélogramme et ses propriétés
Activité 9.1

Découvrir le parallélogramme

Cette activité est présentée sous trois formes. Les trois versions visent les mêmes objectifs : choisis-en une. En cas de difficulté, tu peux changer de version en cours de route.

★L'essentiel
Définition 1

Parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Sur la figure ci-contre, les droites (AB) et (CD) sont parallèles, ainsi que les droites (AD) et (BC) : le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Parallélogramme ABCD, côtés opposés parallèles deux à deux

Vocabulaire : dans le quadrilatère ABCD, les côtés [AB] et [CD] sont opposés, ainsi que les côtés [AD] et [BC]. Les segments [AC] et [BD] sont ses diagonales.

Propriété 1

Côtés opposés

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.

Sur la figure ci-contre : AB = CD et AD = BC.

Parallélogramme ABCD : côtés opposés codés de même longueur
Propriété 2

Diagonales et centre de symétrie

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

Ce point est le centre de symétrie du parallélogramme : sur la figure ci-contre, A et C sont symétriques par rapport à O, ainsi que B et D.

Parallélogramme ABCD : diagonales qui se coupent en leur milieu O
Propriété 3

Reconnaître un parallélogramme

  • Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
  • Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Remarque : Le quadrilatère doit être non croisé. Le quadrilatère croisé EFGH ci-contre a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, mais ce n'est pas un parallélogramme : les côtés [EF] et [GH] ne sont pas parallèles.

Quadrilatère croisé EFGH
✎Exercices
9.2

Reconnaître des parallélogrammes

9.3

Compléter des constructions

9.4

Méthode · Construire un parallélogramme connaissant ses côtés

9.5

Construire des parallélogrammes

9.6

Avec un angle connu

9.7

Méthode · Construire un parallélogramme connaissant ses diagonales

9.8

Construire des parallélogrammes

9.9

Avec plus de contraintes

9.10

Triangle et parallèles

9.11

Triangle et symétrie

9.12

Un parallélogramme au compas

9.13

Deux cercles de même centre

9.14

Déterminer la nature

2Les parallélogrammes particuliers
Activité 9.15

Découvrir des parallélogrammes particuliers

Cette activité est présentée sous trois formes. Les trois versions visent les mêmes objectifs : choisis-en une. En cas de difficulté, tu peux changer de version en cours de route.

★L'essentiel
Définition 2

Rectangle

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

Rectangle ABCD avec ses quatre angles droits
Propriété 4

Propriétés du rectangle

Un rectangle est un parallélogramme particulier : il en a toutes les propriétés. Si un quadrilatère est un rectangle, alors :

  • ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur ;
  • ses diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur.
Rectangle ABCD : diagonales de même milieu O et de même longueur
Propriété 5

Reconnaître un rectangle

  • Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c'est un rectangle.
  • Si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.
  • Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.
Définition 3

Losange

Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.

Losange ABCD avec ses quatre côtés codés de même longueur
Propriété 6

Propriétés du losange

Un losange est un parallélogramme particulier : il en a toutes les propriétés. Si un quadrilatère est un losange, alors :

  • ses côtés opposés sont parallèles ;
  • ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Losange ABCD : diagonales perpendiculaires de même milieu O
Propriété 7

Reconnaître un losange

  • Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange.
  • Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.
Définition 4

Carré

Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.

Un carré est donc à la fois un rectangle et un losange.

Carré ABCD
Propriété 8

Propriétés du carré

Un carré a toutes les propriétés du rectangle et du losange. Si un quadrilatère est un carré, alors :

  • ses côtés opposés sont parallèles ;
  • ses diagonales se coupent en leur milieu, ont la même longueur et sont perpendiculaires.
Carré ABCD : diagonales de même milieu O, de même longueur et perpendiculaires
Propriété 9

Reconnaître un carré

  • Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un carré.
  • Si un losange a un angle droit, alors c'est un carré.
  • Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur et perpendiculaires, alors c'est un carré.
✎Exercices
9.16

Reconnaître des parallélogrammes

9.17

Utiliser des codages

9.18

Utiliser les diagonales

9.19

Vrai ou faux ?

9.20

Dans une figure complexe

9.21

Méthode · Construire un rectangle connaissant un côté et une diagonale

9.22

Construire des rectangles

9.23

Avec deux côtés

9.24

Méthode · Construire un losange connaissant ses côtés

9.25

Construire des losanges

9.26

Des losanges à partir des diagonales

9.27

Construire des carrés

9.28

Des carrés à partir des diagonales

9.29

Autour d'un sommet

9.30

Un losange particulier

9.31

Couper un rectangle

🧩Résoudre des problèmes
9.32

Un cadre de tableau

9.33

Un massif de fleurs

9.34

Un portemanteau extensible

3Aire d'un parallélogramme
Activité 9.35

Calculer l'aire d'un parallélogramme

Cette activité est présentée sous trois formes. Les trois versions visent les mêmes objectifs : choisis-en une. En cas de difficulté, tu peux changer de version en cours de route.

★L'essentiel
Définition 5

Hauteur d'un parallélogramme

Une hauteur d'un parallélogramme est un segment perpendiculaire à un côté, qui joint ce côté, ou son prolongement, au côté opposé.

Sa longueur est appelée la hauteur relative à ce côté.

Sur la figure ci-contre, [DH] est une hauteur relative au côté [AB].

Parallélogramme ABCD et sa hauteur [DH] relative au côté [AB]
Propriété 10

Aire d'un parallélogramme

L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de la longueur d'un côté par la hauteur relative à ce côté :

\(\mathscr{A}=b\times h\)

Parallélogramme ABCD : côté b et hauteur relative h

Exemple

Dans le parallélogramme ci-dessus, si AB = 6 cm et DH = 3 cm, alors \(\mathscr{A}=6\times 3=18\) : l'aire de ABCD est 18 cm².

Remarques :

  • La hauteur peut tomber sur le prolongement du côté, à l'extérieur du parallélogramme, comme pour MNPQ ci-contre. La formule reste valable : \(\mathscr{A}=\text{MN}\times\text{QK}\).
  • Pour un rectangle, on retrouve la formule \(\mathscr{A}=L\times \ell\) ; pour un carré de côté \(c\), \(\mathscr{A}=c\times c\).
Parallélogramme MNPQ : la hauteur [QK] tombe sur le prolongement du côté [MN]
Propriété 11

Unités de longueur

Chaque unité de longueur est 10 fois plus grande que l'unité qui la suit dans le tableau de conversion.

Tableau de conversion des longueurs : 3,25 m = 325 cm et 4,7 km = 4 700 m
Propriété 12

Unités d'aire

Le mètre carré (m²) est l'aire d'un carré de 1 m de côté.

Chaque unité d'aire est 100 fois plus grande que l'unité qui la suit : dans le tableau de conversion, chaque unité occupe deux colonnes.

1 m² = 100 dm² ; 1 dm² = 100 cm² ; 1 cm² = 100 mm²

Tableau de conversion des aires : 3,5 cm² = 350 mm² et 2 m² = 20 000 cm²

Remarque : Pour mesurer des terrains, on utilise aussi l'are et l'hectare : 1 a = 100 m² = 1 dam² et 1 ha = 10 000 m² = 1 hm².

✎Exercices
9.36

Dans un quadrillage

9.37

Avec des unités

9.38

Choisir les bonnes mesures

9.39

Parallélogrammes particuliers

9.40

Figures complexes

🧩Résoudre des problèmes
9.41

Un morceau de tissu

9.42

Un champ de blé

9.43

Un parking en épi

9.44

Un carrelage

9.45

Deux jardins

9.46

Une fresque murale

✦Exercices de synthèse et extensions
9.47

Une hauteur inconnue

9.48

Un côté inconnu

9.49

Un tableau à compléter

9.50

Un programme de conversion

Un peu d'histoire

Euclide est un mathématicien grec qui a vécu à Alexandrie, en Égypte, vers 300 avant J.-C.

Dans les Éléments, un ouvrage en treize livres, il rassemble et démontre les connaissances géométriques de son époque. Ce livre a servi à enseigner la géométrie pendant plus de deux mille ans.

La proposition 35 du livre I affirme : « Les parallélogrammes qui sont sur la même base et entre les mêmes parallèles sont égaux entre eux. » Pour Euclide, deux figures « égales » sont deux figures de même aire.

9.51

🏛Les parallélogrammes d'Euclide

9.52

Des angles dans un parallélogramme

9.53

💻 Un parallélogramme avec Scratch

🎯Se préparer à l'évaluation
9.54

Reconnaître en justifiant

9.55

Construire des parallélogrammes

9.56

Aire d'une figure complexe

🧩Résoudre des problèmes
9.57

Deux bandes qui se croisent

9.58

Une terrasse

Avant l'évaluation, je fais le point

Je vérifie que je sais :