CHAPITRE8
Mathématiques · 5e
Nombres relatifs
Repérer, comparer, additionner et soustraire · se repérer dans le plan
Objectifs d'apprentissage
- Définir les nombres relatifs.
- Définir l'opposé et la valeur absolue d'un nombre.
- Définir la notion de nombre positif, strictement positif, négatif, strictement négatif.
- Utiliser les nombres relatifs pour représenter des grandeurs.
- Lire l'abscisse d'un nombre relatif sur une droite graduée et placer un nombre relatif d'abscisse donnée.
- Comparer et ranger dans l'ordre croissant et décroissant des nombres décimaux relatifs.
- Additionner des nombres décimaux relatifs.
- Soustraire deux nombres décimaux relatifs.
- Connaitre et justifier les situations dans lesquelles des parenthèses sont indispensables.
- Simplifier l'écriture de sommes comportant des parenthèses.
- Enchainer additions et soustractions de décimaux relatifs.
- Résoudre des problèmes mobilisant addition et soustraction de nombres décimaux relatifs.
- Dans un repère orthogonal : lire des coordonnées ; placer un point.
Révisions des chapitres 1 à 7
QCM : clique sur la bonne réponse.
\(3+5\times 2\) est égal à :
\(\dfrac{2}{3}\) est égal à :
Le point d'intersection des médiatrices d'un triangle est le centre du cercle :
Dans un triangle, deux angles mesurent 50° et 60°. Le troisième angle mesure :
Réponses courtes : écris ta réponse, puis vérifie.
Calculer \(2\times(7-3)^2\).
\(2\times(7-3)^2=2\times 4^2=2\times 16=32\)
Calculer \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\) (réponse sous la forme a/b).
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)
Calculer la moyenne de la série 4 ; 7 ; 13.
\((4+7+13)\div 3=24\div 3=8\)
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle alterne-interne mesure 48°. Quelle est la mesure de l'autre ?
Deux angles alternes-internes formés par deux droites parallèles ont la même mesure : 48°.
1Découvrir les nombres relatifs
L'ascenseur de l'immeuble
Cette activité est présentée sous trois formes. Les trois versions visent les mêmes objectifs : choisis-en une. En cas de difficulté, tu peux changer de version en cours de route.
★L'essentiel
Définition 1
Nombres relatifs
Un nombre relatif est constitué d'un signe, + (plus) ou − (moins), et d'une valeur absolue, qui est un nombre sans signe.
Exemple
\(-1\), \(+1{,}8\), \(0\) et \(-420{,}15\) sont des nombres relatifs.
Définition 2
Nombres positifs, nombres négatifs
- Un nombre relatif dont le signe est − est négatif ; un nombre relatif dont le signe est + est positif, et on peut l'écrire sans son signe : 17 au lieu de +17.
- Le nombre 0 est à la fois positif et négatif. Un nombre positif différent de 0 est strictement positif ; un nombre négatif différent de 0 est strictement négatif.
Exemple
\(4{,}5\) est strictement positif, \(-3\) est strictement négatif ; \(0\) n'est ni strictement positif, ni strictement négatif.
Définition 3
Droite graduée, abscisse
Une droite graduée est une droite munie d'une origine O, d'un sens et d'une unité. Chaque point y est repéré par un nombre relatif, son abscisse : les nombres positifs sont à droite de l'origine, les nombres négatifs à gauche.
Exemple
Sur la droite graduée ci-dessous, le point A a pour abscisse \(-3\), le point B a pour abscisse \(1{,}5\) et le point C a pour abscisse \(-1{,}5\).
Définition 4
Valeur absolue, nombres opposés
- La valeur absolue d'un nombre relatif est ce nombre sans son signe. C'est la distance entre l'origine et le point qui le représente : on l'appelle aussi distance à zéro. On la note \(|n|\).
- Deux nombres qui ont la même valeur absolue et des signes contraires sont opposés : ils sont à la même distance de l'origine, de part et d'autre.
Exemple
\(|-1{,}5|=|1{,}5|=1{,}5\) : les nombres \(-1{,}5\) et \(1{,}5\) sont opposés ; sur la droite graduée ci-dessous, les points C et B sont à la même distance de l'origine. De même, l'opposé de 35 est \(-35\).
✎Exercices
Positif ou négatif ?
Lire des abscisses
Placer des points
Valeur absolue
Notation de la valeur absolue
Valeur absolue sur la droite graduée
Comprendre la valeur absolue
Nombres opposés
🧩Résoudre des problèmes
Par rapport niveau de la mer
Les températures de la semaine
2Comparer des nombres relatifs
Comparer des nombres positifs, des nombres négatifs
Cette activité est présentée sous trois formes. Les trois versions visent les mêmes objectifs : choisis-en une. En cas de difficulté, tu peux changer de version en cours de route.
★L'essentiel
Propriété 1
Comparer à l'aide d'une droite graduée
Sur une droite graduée, de deux nombres relatifs, le plus grand est celui dont le point est situé le plus à droite.
Exemple
Le point B est situé à droite du point A, donc \(-2{,}5<1{,}5\).
Propriété 2
Comparer deux nombres relatifs
- Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif.
- De deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue.
- De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue : c'est le plus proche de zéro.
Exemples
- \(-1{,}5\) est négatif et \(4\) est positif, donc \(-1{,}5<4\).
- \(3{,}7\) et \(4{,}7\) sont positifs, et \(3{,}7\) a la plus petite valeur absolue, donc \(3{,}7<4{,}7\).
- \(-3{,}7\) et \(-4{,}7\) sont négatifs, et \(-3{,}7\) a la plus petite valeur absolue, donc \(-3{,}7>-4{,}7\).
Attention\(8>5\), mais \(-8<-5\) : pour deux nombres négatifs, l'ordre est inversé.
Remarque : zéro est supérieur à tous les nombres négatifs et inférieur à tous les nombres positifs.
Définition 5
Ordre croissant, ordre décroissant
- Ranger des nombres dans l'ordre croissant, c'est les écrire du plus petit au plus grand. On utilise pour cela le symbole <.
- Ranger des nombres dans l'ordre décroissant, c'est les écrire du plus grand au plus petit. On utilise pour cela le symbole >.
Exemples
- Ordre croissant : \(-3{,}5<-1<-0{,}5<0<1<2{,}5\).
- Ordre décroissant : \(2{,}5>1>0>-0{,}5>-1>-3{,}5\).
✎Exercices
Comparer des nombres relatifs – 1
Comparer des nombres relatifs – 2
Comparer des nombres relatifs – 3
Ranger des nombres positifs ou négatifs
Ranger des nombres relatifs
Vrai ou faux ?
🧩Résoudre des problèmes
Un matin de janvier
Un tournoi de golf
Une frise chronologique
3Additionner et soustraire des nombres relatifs
Le jeu des cartes bonus et malus
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★L'essentiel
Propriété 3
Additionner deux nombres relatifs de même signe
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
- on additionne leurs distances à zéro ;
- on garde leur signe commun.
Exemples
- \(-3{,}2\) et \(-1{,}5\) sont négatifs, et \(3{,}2+1{,}5=4{,}7\), donc \((-3{,}2)+(-1{,}5)=-4{,}7\).
- \(+2{,}4\) et \(+5\) sont positifs, et \(2{,}4+5=7{,}4\), donc \((+2{,}4)+(+5)=+7{,}4\).
Propriété 4
Additionner deux nombres relatifs de signes contraires
Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :
- on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande ;
- on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
Exemples
- \(-8\) a une plus grande distance à zéro que \(+3{,}5\), et \(8-3{,}5=4{,}5\), donc \((-8)+(+3{,}5)=-4{,}5\).
- \(+6{,}2\) a une plus grande distance à zéro que \(-1{,}7\), et \(6{,}2-1{,}7=4{,}5\), donc \((+6{,}2)+(-1{,}7)=+4{,}5\).
Propriété 5
Soustraire deux nombres relatifs
Soustraire un nombre relatif d'un autre, c'est additionner son opposé.
Exemples
- \((+8)-(+3)=(+8)+(-3)=5\) et \((+8)-(-3)=(+8)+(+3)=11\).
- \((+3)-(+7)=(+3)+(-7)=-4\) et \((-2)-(-5)=(-2)+(+5)=3\).
✎Exercices
Additionner des nombres de même signe
Nombres de signes contraires
Soustraire des nombres relatifs
Simplifier des notations
Additionner, soustraire – 1
Additionner, soustraire – 2
Utiliser des parenthèses
Enchaîner avec des parenthèses
Avec des puissances
Avec parenthèses et puissances
🧩Résoudre des problèmes
Un compte en banque
Une plongée du sous-marin
Une partie de cartes
Une différence de buts
4Se repérer dans le plan
Comprendre le principe des coordonnées
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★L'essentiel
Définition 6
Repère du plan
Un repère du plan est formé de deux droites graduées perpendiculaires qui ont la même origine O :
- la droite graduée horizontale est l'axe des abscisses ;
- la droite graduée verticale est l'axe des ordonnées.
Définition 7
Coordonnées d'un point
Dans un repère, chaque point est repéré par un couple de deux nombres relatifs, qui constitue ses coordonnées :
- le premier nombre est l'abscisse du point, lue sur l'axe des abscisses ;
- le second nombre est l'ordonnée du point, lue sur l'axe des ordonnées.
On note A(3 ; 2) pour indiquer que le point A a pour abscisse 3 et pour ordonnée 2.
Exemples
- A(3 ; 2) : abscisse 3, ordonnée 2.
- B(−2,5 ; 1) : abscisse −2,5, ordonnée 1.
- C(−1 ; −2) : abscisse −1, ordonnée −2.
- D(2 ; 0) : le point D est sur l'axe des abscisses, son ordonnée est nulle.
- O(0 ; 0) : l'origine du repère a pour abscisse 0 et pour ordonnée 0.
AttentionL'ordre des coordonnées est important : les points de coordonnées (2 ; 3) et (3 ; 2) ne sont pas confondus.
✎Exercices
Lire des coordonnées
Placer des points
Utiliser le vocabulaire
Trouver un mot
Points et figures
🧩Résoudre des problèmes
Interpréter des graphiques
Une bataille navale
Une matinée glaciale
✦Exercices de synthèse et extensions
Trois méthodes pour une somme
Une chasse au trésor
Un peu d'histoire
Les nombres négatifs apparaissent en Inde au VIIe siècle. Le mathématicien indien Brahmagupta, né en 598, écrit en 628 un ouvrage dans lequel il donne des règles de calcul pour les « biens » (nos nombres positifs), les « dettes » (nos nombres négatifs) et le zéro.
En Europe, les nombres négatifs mettent beaucoup plus de temps à être acceptés : en 1637 encore, le philosophe et mathématicien René Descartes appelle « fausses racines » les solutions négatives des équations.
Calculer comme Brahmagupta
🎯Se préparer à l'évaluation
Lire, comparer, ranger
Calculer avec des nombres relatifs
Enchaîner des opérations
Lire et placer des points
🧩Résoudre des problèmes
Une journée à la montagne
Avant l'évaluation, je fais le point
Je vérifie que je sais :
- définir un nombre relatif, son opposé, sa distance à zéro ;
- lire et placer un nombre relatif sur une droite graduée ;
- comparer et ranger des nombres relatifs ;
- additionner et soustraire des nombres relatifs ;
- enchainer additions et soustractions de nombres relatifs ;
- résoudre des problèmes avec des nombres relatifs ;
- lire et placer des points dans un repère du plan.