CHAPITRE7

Mathématiques · 5e

Angles

Somme des angles d'un triangle · angles et parallélisme

Objectifs d'apprentissage

Connaitre la somme des angles d'un triangle et savoir la démontrer.
Caractériser le parallélisme par les angles : angles alternes-internes, angles correspondants.

⚡Automatismes

Révisions des chapitres 1 à 6

QCM : clique sur la bonne réponse.

\(20-4\times 3\) est égal à :
Par une symétrie centrale, l'image d'un segment de longueur 5 cm est un segment de longueur :
Un multiple de 6 est :
\(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}\) est égal à :
La moyenne de la série 8 ; 12 ; 13 est :
Un angle de 130° est un angle :

Réponses courtes : écris ta réponse, puis vérifie.

Calculer \((15-3)\div 4+2\).
Donner tous les diviseurs de 20, séparés par des points-virgules.
Calculer \(\dfrac{3}{4}\) de 20.
Dans une classe de 25 élèves, 10 sont externes. Quelle est la fréquence des élèves externes ?
Calculer l'aire d'un triangle de base 8 cm et de hauteur 5 cm.
cm²

1Somme des angles dans un triangle

Activité 7.1

Observer la somme des angles

Cette activité est présentée sous trois formes. Les trois versions visent les mêmes objectifs : choisis-en une. En cas de difficulté, tu peux changer de version en cours de route.

Les trois versions utilisent les triangles à découper de l'annexe, en fin de livret. Télécharger l'annexe (PDF, 1 page)

★L'essentiel

Propriété 1

Somme des angles dans un triangle

Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à 180°.

Remarque : cette propriété sera démontrée dans la partie 2, à l'aide de droites parallèles (exercice « Démontrer la somme des angles »).

Propriété 2

Conséquences dans des triangles remarquables

Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent chacun 60°.
Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des deux angles non droits est égale à 90°.

Démonstration

Un triangle équilatéral a trois angles de même mesure, notée \(a\).
La somme des mesures des trois angles est égale à 180°, donc \(a+a+a=180^\circ\), c'est-à-dire \(3\times a=180^\circ\).
On en déduit que \(a=180^\circ\div 3=60^\circ\).
Un triangle rectangle a un angle droit (90°). On note \(a\) et \(b\) les mesures des deux autres angles.
La somme des mesures des trois angles est égale à 180°, donc \(a+b+90^\circ=180^\circ\).
On en déduit que \(a+b=180^\circ-90^\circ=90^\circ\).

✎Exercices

7.2

Méthode · Calculer la mesure d'un angle dans un triangle

7.3

Vérifier la propriété

7.4

Vérifier des mesures données

7.5

Calculer une mesure manquante

7.6

Déterminer la nature d'un triangle

7.7

Utiliser des angles opposés

7.8

Utiliser des bissectrices

7.9

Angles et bissectrice

7.10

Avec un triangle isocèle

7.11

Angles et hauteur

🧩Résoudre des problèmes

7.12

La charpente

7.13

Des triangles impossibles

2Angles et parallélisme

Activité 7.14

Angles formés par une droite sécante à deux parallèles

Cette activité est présentée sous trois formes. Les trois versions visent les mêmes objectifs : choisis-en une. En cas de difficulté, tu peux changer de version en cours de route.

★L'essentiel

On considère deux droites parallèles (AB) et (CD), qui sont coupées par une troisième droite (GH).
Le point E est l'intersection de (AB) et (GH) et le point F est l'intersection de (CD) et (GH).

Deux droites parallèles (AB) et (CD) coupées par la sécante (GH) en E et F

Propriété 3

Angles opposés par le sommet

Les angles \(\widehat{\text{GEB}}\) et \(\widehat{\text{AEF}}\), d'une part, \(\widehat{\text{AEG}}\) et \(\widehat{\text{BEF}}\), d'autre part, sont opposés par le sommet : ils ont le même sommet, et leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.
Des angles opposés par le sommet ont la même mesure.

Propriété 4

Angles correspondants

Les angles \(\widehat{\text{GEB}}\) et \(\widehat{\text{EFD}}\), d'une part, \(\widehat{\text{AEF}}\) et \(\widehat{\text{CFH}}\), d'autre part, sont correspondants : ils sont situés du même côté de la sécante, l'un entre les deux droites, l'autre à l'extérieur.
Des angles correspondants ont la même mesure.

Propriété 5

Angles alternes-internes

Les angles \(\widehat{\text{AEF}}\) et \(\widehat{\text{EFD}}\), d'une part, \(\widehat{\text{BEF}}\) et \(\widehat{\text{EFC}}\), d'autre part, sont alternes-internes : ils sont situés entre les deux droites, et de part et d'autre de la sécante.
Des angles alternes-internes ont la même mesure.

Propriété 6

Reconnaître des droites parallèles

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Il en est de même si elles forment deux angles correspondants de même mesure.

Remarque : deux droites qui forment avec une sécante deux angles alternes-internes de mesures différentes ne sont pas parallèles.

✎Exercices

7.15

Angles opposés par le sommet

7.16

Nommer des angles opposés

7.17

Angles correspondants

7.18

Nommer des angles correspondants

7.19

Angles alternes-internes

7.20

Nommer des angles alternes-internes

7.21

Angles de même mesure

7.22

Déterminer des mesures

7.23

Déterminer des mesures

7.24

Angles supplémentaires

7.25

Déterminer des mesures

7.26

Déterminer des mesures

7.27

Deux paires de parallèles

7.28

Des droites parallèles ?

7.29

Reconnaitre des droites parallèles

🧩Résoudre des problèmes

7.30

Le portail

7.31

Les places de parking

✦Exercices de synthèse et extensions

7.32

Des parallèles et un triangle

7.33

Démontrer la somme des angles

7.34

Un angle en zigzag

Un peu d'histoire

Vers 240 avant J.-C., le savant grec Ératosthène, directeur de la grande bibliothèque d'Alexandrie, en Égypte, a été le premier à mesurer la Terre. Il n'avait pour instruments qu'un bâton planté verticalement, appelé gnomon, et son ombre. Son résultat est très proche de la valeur connue aujourd'hui.

7.35