CHAPITRE5

Mathématiques · 5e

Triangles et droites remarquables

Construire des triangles · médiatrices · hauteurs · aire · médianes

Objectifs d'apprentissage

Construire des triangles à partir de données partielles.
Connaitre les propriétés des médiatrices et du cercle circonscrit dans le cas de triangles particuliers.
Définir et tracer les hauteurs dans un triangle.
Savoir que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Calculer l'aire d'un triangle.
Définir et tracer les médianes dans un triangle.
Démontrer qu'une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.
Utiliser ces propriétés dans le cas de triangles particuliers.

⚡Automatismes

Révisions des chapitres 1 à 4

QCM : clique sur la bonne réponse.

\(3+4^2\) est égal à :
La fraction \(\dfrac{3}{4}\) est égale à :
\(\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}\) est égal à :
Un nombre divisible par 3 est :

Réponses courtes : écris ta réponse, puis vérifie.

Calculer \(5\times(7-3)+2\).
Calculer \(\dfrac{7}{6}-\dfrac{1}{3}\) (réponse sous la forme a/b).
Comparer \(\dfrac{5}{8}\) et \(\dfrac{1}{2}\) : écrire le symbole < ou >.
5/8 … 1/2 :
Donner tous les diviseurs de 18, séparés par des points-virgules.
Quelle est la nature du triangle DEF codé ci-contre ?

1Construire des triangles

★L'essentiel

Propriété 1

Différents cas pour construire un triangle

Un triangle est un ensemble de trois points non alignés (les sommets) reliés par des segments (les côtés). Un triangle est caractérisé par les mesures de ses trois côtés et de ses trois angles.
En général, il est possible de construire un triangle quand on connaît trois informations.

Premier cas : les longueurs des trois côtés.
Deuxième cas : les longueurs de deux côtés et la mesure de l'angle compris entre ces deux côtés.
Troisième cas : la longueur d'un côté et les mesures de deux angles.

✎Exercices

5.1

Méthode · Construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtés

5.2

Construire des triangles

5.3

Constructions possibles et impossibles

5.4

Méthode · Construire un triangle connaissant deux longueurs et un angle

5.5

Construire des triangles

5.6

Méthode · Construire un triangle connaissant une longueur et les angles adjacents

5.7

Construire des triangles

5.8

Une situation particulière

5.9

Construire des triangles

🧩Résoudre des problèmes

5.10

Dessiner un jardin

5.11

Une rampe de skate

2Médiatrices d'un triangle

Activité 5.12

Médiatrices et cercle circonscrit

Cette activité est présentée sous trois formes. Les trois versions visent les mêmes objectifs : choisis-en une. En cas de difficulté, tu peux changer de version en cours de route.

★L'essentiel

Définition 1

Médiatrices d'un triangle

Dans un triangle, les médiatrices sont les droites qui passent par le milieu d'un côté, perpendiculairement à ce côté.

Définition 2

Cercle circonscrit

Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets.

Propriété 2

Médiatrices et cercle circonscrit

Les médiatrices d'un triangle se coupent toujours en un même point.
On dit qu'elles sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit.

✎Exercices

5.13

Médiatrices de triangles particuliers

5.14

Médiatrices de triangles d'un autre type

5.15

Construire et tracer – 1

5.16

Construire et tracer – 2

5.17

Construire et tracer – 3

🧩Résoudre des problèmes

5.18

Une antenne pour trois villages

5.19

Une assiette cassée

3Hauteurs d'un triangle

Activité 5.20

Les hauteurs d'un triangle

Cette activité est présentée sous trois formes. Les trois versions visent les mêmes objectifs : choisis-en une. En cas de difficulté, tu peux changer de version en cours de route.

★L'essentiel

Définition 3

Hauteur dans un triangle

Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.

Exemple

Dans ce triangle ABC, on a tracé la hauteur issue du sommet C, qu'on appelle aussi hauteur relative au côté [AB].

Propriété 3

Concourance des hauteurs d'un triangle

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point.
Ce point est appelé l'orthocentre du triangle, souvent noté H.

Les trois hauteurs du triangle ABC se coupent en H

✎Exercices

5.21

Hauteurs et orthocentre dans des triangles quelconques

5.22

Méthode · Avec un angle obtus

5.23

Hauteurs et orthocentre avec un angle obtus

5.24

Hauteurs et orthocentre dans des triangles particuliers

5.25

Hauteurs et orthocentre dans des triangles rectangles

4Aire d'un triangle

Activité 5.26

L'aire d'un triangle

Cette activité est présentée sous trois formes. Les trois versions visent les mêmes objectifs : choisis-en une. En cas de difficulté, tu peux changer de version en cours de route.

★L'essentiel

Propriété 4

Aire d'un triangle

Dans un triangle, on choisit un côté comme base et on considère la hauteur relative à ce côté.
L'aire \(\mathscr{A}\) du triangle est donnée par la formule :

\(\mathscr{A}=\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}\)

Triangle ABC avec la base [AC] et la hauteur issue de B

✎Exercices

5.27

Dans un quadrillage

5.28

Avec des unités

5.29

Avec la règle

5.30

Aires de triangles rectangles

🧩Résoudre des problèmes

5.31

Une voile de bateau

5.32

Repeindre un pignon

5Médianes d'un triangle

Activité 5.33

Les médianes d'un triangle

Cette activité est présentée sous trois formes. Les trois versions visent les mêmes objectifs : choisis-en une. En cas de difficulté, tu peux changer de version en cours de route.

★L'essentiel

Définition 4

Médiane dans un triangle

Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.

Exemple

Dans ce triangle ABC, on a tracé la médiane issue du sommet C, qu'on appelle aussi médiane relative au côté [AB].

✎Exercices

5.34

Tracer des médianes dans un quadrillage

5.35

Connaissant les longueurs des côtés

5.36

Mesurer et construire

5.37

Médiane et aires

🧩Résoudre des problèmes

5.38

Partager un champ

✦Exercices de synthèse et extensions

5.39

Une droite et un cercle

Un peu d'histoire

Même si on parle de la droite d'Euler, ce n'est pas le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707–1783) qui a le premier relevé son existence.

C'est le mathématicien écossais Robert Simson (1687–1768) qui, le premier, remarque que l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit d'un triangle sont toujours alignés.

Quelques années plus tard, en 1765, Euler en donne la première démonstration, par le calcul, dans un ouvrage au titre resté célèbre : Solution facile de quelques problèmes géométriques très difficiles.

5.40

Construire un pentagone régulier

🎯Se préparer à l'évaluation

5.41

Construire des triangles

5.42

Reconnaître des droites

5.43

Un triangle rectangle

5.44

Calculer des aires

5.45

Retrouver une hauteur

🧩Résoudre des problèmes

5.46

Des fanions

5.47

Dans un rectangle

Avant l'évaluation, je fais le point

Je vérifie que je sais :

construire des triangles à partir de données partielles ;
connaitre les propriétés des médiatrices et du cercle circonscrit dans le cas de triangles particuliers ;
définir et tracer les hauteurs dans un triangle ;
savoir que les hauteurs d'un triangle sont concourantes ;
calculer l'aire d'un triangle ;
définir et tracer les médianes dans un triangle ;
utiliser ces propriétés dans le cas de triangles particuliers.